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lunes, 6 de enero de 2014

La evolución desde la perspectiva matemática


En esta ocasión les voy a compartir una propuesta fascinante sobre un desarrollo matemático considerado un autómata celular que es conocido como el Juego de la Vida, o simplemente Vida entre los expertos de los números y la Inteligencia Artificial, que fue creado por el matemático inglés John Horton Conway en 1970.

El juego está determinado por la evolución de su estado inicial,  sin necesidad de nuevas intervenciones, el juego inicia con una configuración inicial y simplemente se observa como evoluciona.

El juego surge debido al interés de Conway en un problema presentado por el matemático John von Neumann que trataba de encontrar una máquina que pudiera construir copias de si misma.

Neumann tuvo éxito cuando se encontró con un modelo matemático para una máquina de este tipo con reglas aplicadas en una cuadricula rectangular, que es muy similar a la llamada Máquina Universal de Turing, la cual es descrita como un artefacto autómata que fue dado a conocer en 1936 en la revista Proceedings of the London Mathematical Society y que es básicamente  un dispositivo que manipula símbolos sobre una cinta de acuerdo a una serie de reglas que puede ser adaptada para simular la lógica de cualquier algoritmo, por lo que puede ayudar a entender los límites de cálculos mecánicos, que brinda avances a la teoría de la complejidad.

Volviendo al juego de la vida, Conway encontró la forma de simplificar drásticamente la noción de von Neumann empleando solo 4 reglas para la ejecución de un autómata celular.


El juego se dio a conocer en octubre de 1970 en la revista Scientific American en la columna de juegos matemáticos de Martin Gardner y abrió una línea de investigación matemática conocida como el campo de los autómatas celulares a causa de la analogía del surgimiento, transformaciones y caídas  de  cualquier sociedad de organismos vivos que pertenece a los bien conocidos juegos de simulación en los cuales los patrones pueden evolucionar.

Vida permite un ejemplo de surgimiento  y auto-organización de patrones por lo que ha atraído el interés de  múltiples campos de la ciencia y que dan paso a estudios de complejidad emergente o sistemas de auto-organización


El juego surge en una red ortogonal infinita de celdas cuadradas (recomiendo ampliamente visitar la referencia de Wikipedia que aquí refiero), cada una de las celdas está en uno de dos estados posibles, vivo o muerto.

Cada célula interactúa con sus 8 vecinos, que son las células horizontales o verticales, diagonales o adyacentes, con el paso de tiempo es posible observas las siguientes transiciones que son las reglas del juego:





























El patrón inicial se considera la semilla del sistema. La primera generación se crea mediante la aplicación de las reglas anteriores de forma simultanea a todas las células de las semillas que incluye que nacimientos y muertes pueden ocurrir al mismo tiempo y en forma discreta se le llama a esto un  tick, lo cual implica que cada generación es una función pura de la precedente y el juego continua hasta que la última célula muere.

A partir de estas simples reglas, Vida se ha convertido en uno de los ejemplos de lo que se conoce como complejidad emergente o sistemas de auto-organización
 
Designed by Paul Rendell 02/April/00, disponible en http://rendell-attic.org/gol/tm.htm
Ahora bien, permítanme explicar porque todo esto me hizo brincar de mi asiento y subir corriendo las escaleras para buscar al respecto en Google:

Estas simples reglas permiten la comprensión de fenómenos tan complejos como el acomodo de los pétalos de una rosa, o los patrones sobre la piel de una cebra, y es que en la vida, la ciencia intenta explicar patrones complejos, siempre aplicando la idea de que simple es mejor, recuerdo claramente al profesor  Colm Donaldson diciendo a gritos: lo simple es más bello en ciencia, !hazlo sencillo!.

Es así que patrones simples de interacción comienzan un proceso complejo de interacción que en el caso de Vida y a diferencia de otros juegos, parte de las propias normas para lograr patrones,  mientras que en los juegos convencionales, los programadores crean múltiples situaciones de juego que deben ser atendidas para avanzar.
 
Vida ha servido incluso para analizar patrones de conducta probando diferentes modelos y observando su interacción. Por ejemplo el llamado R-Pentomino fue el primer patrón observado por Conway, que es muy estable y por ende fácil de predecir, aunque para ello se requieren 1 103 pasos.

Es por ello que algunos de los programas diseñados para Vida al principio se limitaban a describir el destino de un patrón pequeño y específico, sin embargo con el desarrollo de las computadoras, actualmente es posible ejecutar patrones mucho más sistemáticos e inimaginables.

Una de las preguntas de Conway fue determinar si el patrón inicial  o cualquier otro sistema de Vida podía crecer indefinidamente, por lo que ofreció un premio de 50 dólares a cualquiera que pudiera responder a estar pregunta. En 1970 un grupo del MIT dirigido por RW Gosper ganó el premio encontrando el patrón conocido como Glider Gun  (Arma planeador) que emite un nuevo agente cada 30 generaciones indefinidamente, por lo que el patrón crece por siempre.

Conforme se encontraron más y más patrones, se definieron otros aspectos del juego, por ejemplo la velocidad de la luz concepto que se define como la velocidad máxima sostenible por cualquier objeto en movimiento, o  la tasa de propagación dada en un paso ya sea horizontal, diagonal o verticalmente por generación. En este sentido para ambos procesos es la tasa máxima en la cual la información puede viajar y por ende determina la velocidad del patrón.

A partir de ello, los matemáticos han jugado y creado diferentes teoremas que van observando con los patrones desarrollados


Esto es parte de un conjunto de ideas que se integran en la teorías del juego, entre las que se encuentran la denominada del equilibrio de Nash, la cual  es un concepto de la solución de un juego y toma de decisiones, que  analiza las estrategias empleadas por los jugadores a partir del beneficio que es posible obtener al cambiar sus estrategias  lo cual crea un principio de estabilidad en el intercambio de solución durante el juego y que se conoce como la teoría del equilibrio de Nash.

Por supuesto, uno de los campos que más desarrollo se han permitido es el conocido como Vida  artificial que se define como una vida hecha por una mente humana y no por la naturaleza y se relaciona también con el  estudio de organismos no orgánicos, más allá de las creaciones de la naturaleza, que poseen propiedades esenciales que permiten comprenderla dentro de un ambiente artificial creado específicamente para su desarrollo dentro de una máquina programable (generalmente se puede pensar en una computadora) por lo que la Vida Artifical (ALife en inglés) permite comprender tres propiedades de los seres vivientes que son la reproducción, las propiedades emergentes y la evolución.

¿Puede todo esto explicarnos el cómo los alumnos serian capaces de cambiar patrones a partir de reglas simples de acción?, bueno, parece que muchos han intentado aplicar estos principios, personalmente creo que el programa de Neuro-modulación Ambiental Asistida al partir de micro tareas capaces de crear patrones de conducta especifica, puede ser una ejemplo aplicado, pero sin duda hace falta mucha lectura para hacer simple la complejidad.

Referencias:

Ashwani, K.  (2013) Cellular automation: A discrete approach for modeling and simulation of artifical life systems. International Journal of Scientific and Research Publications.  3 (10) Disponible en red: http://www.ijsrp.org/research-paper-1013/ijsrp-p2213.pdf

Gardner, M (1970) Mathemathical Games: The fantastic combinations of John Conway’s new solitarie game “life”. Disponible en red: http://web.archive.org/web/20090603015231/http://ddi.cs.uni-potsdam.de/HyFISCH/Produzieren/lis_projekt/proj_gamelife/ConwayScientificAmerican.htm

Gymerek, M. (2010) Conway’s game of life. Disponible en red: http://web.mit.edu/sp.268/www/2010/lifeSlides.pdf

Wikipedia. Conways’s Game of Life. Disponible en red: http://en.wikipedia.org/wiki/Conway%27s_Game_of_Life

Si desean ver algunos patrones generados por Vida, este vínculo vale la pena: http://www.frank-buss.de/automaton/golautomaton.html